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Cantor, Georg

1845-1918

Georg Cantor wurde am 3.3.1845 in Sankt Petersburg als Sohn eines wohlhabenden jüdischen Kaufmannes geboren und starb am 6.1.1918 in Halle an der Saale. Wegen einer Lungenkrankheit seines Vaters übersiedelte die Familie 1865 nach Frankfurt am Main. Schon mit 15 Jahren wollte Cantor Mathematiker werden, obwohl sein Vater ihn viel lieber als berühmten Ingenieur gesehen hätte. Nachdem er die Reifeprüfung (heute: Abitur) mit Auszeichnung bestanden hatte, studierte er 1862-1867, doch mit väterlicher Erlaubnis, in Zürich, Göttingen und Berlin Mathematik. Nach seiner Promotion (1867 in Berlin) lehrte Cantor bis zu seiner Emeritierung 1913 (entspricht der Pensionierung eines Beamten) in Halle Mathematik. Er gründete 1890 die Deutsche Mathematikervereinigung, war deren erster Vorsitzender und bemühte sich sehr stark um die Einrichtung internationaler Kongresse für Mathematiker. Neben Mathematik beschäftigte er sich auch noch mit Literaturgeschichte. Er war z. B. ein Vertreter der damals diskutierten Behauptung, dass Shakespeare seine Dramen gar nicht selbst geschrieben habe, sondern dass diese von Francis Bacon verfasst wurden. Seit 1884 litt er oft unter Depressionen und war deshalb mehrmals längere Zeit in Kliniken.

Cantor war Hauptbegründer der Mengenlehre. In seinen Worten ist eine Menge "eine Zusammenfassung von wohl unterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (die die Elemente der Menge genannt werden) zu einem Ganzen".

Bei der Ausformulierung dieser neuen Disziplin der Mathematik stieß er auf die ungeheuerliche Tatsache, dass ein Teil genauso groß sein kann wie das Ganze. Betrachtet man nämlich die Menge M1 der natürlichen Zahlen (0, 1, 2, 3, 4,..., ) und als Zweites die Menge M2 der geraden natürlichen Zahlen (0, 2, 4, 6, 8,..., ), so ist unzweifelhaft Letztere eine echte Teilmenge der ersten, also im üblichen Sprachgebrauch "kleiner", immerhin fehlt ja die Hälfte der natürlichen Zahlen.

Ordnet man jedoch jeder geraden Zahl, also jedem Element der Menge M2, ihre Hälfte zu, dann erhält man als Wertemenge die Menge M1. Da die Zuordnung umkehrbar eindeutig ("eineindeutig", wie die Mathematiker sagen) ist, haben M1 und M2 genauso viele Elemente!

Diese Tatsache, dass nämlich unter bestimmten Bedingungen "kleiner" und "größer", "Teil" und "Ganzes" keinen Sinn mehr haben, veranlasste Cantor dazu, einen neuen Begriff für die "Größe" einer Menge, also für die Anzahl ihrer Elemente, einzuführen. Er spricht im Zusammenhang mit Mengen von "Mächtigkeit" und umgeht damit die sonst unweigerlich auftretende Sprachverwirrung zwischen Mathematik und Umgangssprache.

Mithilfe der oben erläuterten Zuordnung lässt sich nun begründen, dass die Menge der natürlichen Zahlen die gleiche Mächtigkeit hat wie viele ihrer Teilmengen, beispielsweise die Menge aller Vielfachen von 17, die Menge aller Primzahlen, die Menge aller Quadratzahlen usw.

Um die Eigenschaft einer Menge, gleich mächtig zu sein wie die Menge der natürlichen Zahlen, zu beschreiben, führte man den Begriff abzählbar ein. Abzählbar ist eine Menge dann, wenn eine umkehrbar eindeutige Zuordnung zwischen dieser Menge und der Menge der natürlichen Zahlen gefunden werden kann. Handelt es sich um eine Menge mit endlich vielen Elementen, stimmt dies mit der umgangssprachlichen Bedeutung überein. Erst bei unendlichen Mengen treten die erwähnten begrifflichen Schwierigkeiten auf.

Lange Zeit glaubte man nun, dass lediglich Zahlenmengen, in denen sich große "Lücken" finden, abzählbar seien (zwischen je zwei natürlichen Zahlen z.B. klafft eine Lücke der Länge 1, in der noch unendlich viele Bruchzahlen, jedoch keine weiteren natürlichen Zahlen, zu finden sind). Cantor wies jedoch nach, dass auch "dichte" Zahlenmengen (Dichte) abzählbar sein können, indem er eine Zuordnungsvorschrift zwischen den positiven rationalen Zahlen und den natürlichen Zahlen ohne Null angab, die umkehrbar eindeutig ist. Damit hatte er nachgewiesen, dass die positiven rationalen Zahlen abzählbar sind!

Hier nun Cantors Zuordnung. Jede positive rationale Zahl ist ein Bruch, dessen Zähler und Nenner natürliche Zahlen sind. Ordnet man die positiven rationalen Zahlen nun so an, dass in der ersten Zeile alle Zahlen mit Nenner 1 der Reihe nach aufgeführt werden, in der zweiten Zeile alle mit dem Nenner 2, dann alle mit Nenner 3 usw. So kann man einen Weg durch diese Zahlenlandschaft finden, längs dem die Zahlen durchnummerierbar, also abzählbar sind, das Cantorsche Diagonalverfahren.

Cantors Arbeiten und Ergebnisse, die die damalige Mathematik revolutionierten, wurden von vielen Mathematikern seiner Zeit scharf angegriffen. Unter anderem war einer seiner ehemaligen Lehrer an der Berliner Universität, Leopold Kronecker, einer seiner Hauptfeinde. Wegen jener Feindschaft mit dem in Berlin lebenden Kronecker wurde Cantors sehnlichster Wunsch - eine Berufung nach Berlin - niemals Wirklichkeit.

Für die Bereitstellung der Inhalte bedanken wir uns bei Learnetix.de, der Lerncommunity von Cornelsen.